สมดุล และการยืดหยุ่น

สภาพสมดุล

วัตถุทั้งหลายที่อยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เช่น โคมไฟ บันไดที่พิงกำแพงอยู่ คาน ขื่อ และส่วนต่างๆ ของอาคาร ล้วนนับว่าวัตถุอยู่ใน สภาพสมดุลสถิต (static equilibrium)  ทั้งนี้หากประมาณว่าผู้สังเกตที่อยู่ที่ใดที่หนึ่งบนผิวโลกอยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย  (ความจริงไม่เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเองและเคลื่อนที่ไปรอบดวงอาทิตย์)  และวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว หรือหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว อาจกล่าวได้ว่า วัตถุเหล่านี้อยู่ใน  สภาพสมดุล หรือ สมดุล  (equilibrium)
สภาพสมดุลเกี่ยวข้องกับสภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุซึ่งอาจมีขนาดเล็กและถือได้ว่าเป็นจุด หรือมีขนาดและมีรูปร่างคงเดิมที่ถือว่าเป็นวัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body)  เพื่อให้ง่ายต่อการศึกษาวิเคราะห์ จะพิจารณาในกรณีนี้ในตอนแรก แต่วัตถุจริง อาจมีการเปลี่ยนรูปได้เมื่อมีแรงกระทำนั่นคือมีความยืดหยุ่น ส่วนใหญ่การเปลี่ยนรูปเกิดขึ้นน้อย อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขของสมดุลจะเป็นเช่นเดิม
ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันที่เรียนผ่านมาแล้ว วัตถุใดอยู่ในสภาพสาดุลได้ จะต้องมีแรงลัพธ์เป็นศูนย์  ดังนั้นเงื่อนไขของสมดุล  โดยเฉพาะพิจารณาเกี่ยวกับการเลื่อนตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ นั่นคือ
1. แรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์
ถ้าให้ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i แทนแรงต่างๆ ที่กระทำต่อวัตถุ (i = 1 2 3…n) ดังนั้น
\displaystyle \sum\limits_{i =1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i }  = 0      (8.1)
เมื่อพิจารณาเกี่ยวกับการหมุนของวัตถุ ซึ่งเรียนมาแล้วในบทของการเคลื่อนที่แบบหมุน วัตถุจะไม่หมุนหรือหมุนด้วยอัตราเร็วคงที่ต่อเมื่อทอร์กหรอโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อวัตถุต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นเงื่อนไขของมาดุลอีกข้อหนึ่งคือ
2.ผลรวมของทอร์กลัพธ์หรือโมเมนต์ลัพธ์กระทำต่อวัตถุรอบแกนหมุนใดๆ เป็นศูนย์
เมื่อ \displaystyle M_i   แทนโมเมนต์ของแรงรอบแกนใดแกนหนึ่ง ต่อไปจะศึกษาเงื่อนไขทั้งสองของสมดุมสถิติทั้งสองข้อ
โมเมนต์ของแรงหรือทอร์ก
เมื่อมีแรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุอิสระที่อยู่นิ่งโดยแนวแรงไม่ผ่านศูนย์กลางมวล วัตถุจะหมุนรอบศูนย์กลางมวล แต่ถ้าวัตถุถูกยึดรอบแกนหมุนซึ่งอยู่ในตำแหน่งใดๆ วัตถุจะหมุนรอบแกนหมุนนั้นตัวอย่างเช่น ประตู หน้าต่าง พวงมาลัยรถยนต์ ฯลฯ
เราทราบแล้วว่า  การหมุนของวัตถุจะขึ้นกับโมเมนต์ของแรง  (moment of force) หรือ ทอร์ก (torque)  เป็นไปตามสมการ

รูป  8.10  แรง  F  กระทำวัตถุมีแนวแรงห่างจากแกนหมุนเป็นระยะ  d

ถ้ามีแรงกระทำกับวัตถุที่ ตำแหน่ง       \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} จากจุดหมุนดังรูป  8.10
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} เป็นแรงกระทำต่อวัตถุ     \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r}  เป็นเวกเตอร์จากจุดหมุนไปถึงจุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำโดยนิยามทอร์ก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over \tau }  = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r}  \times \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  ดังในบทที่ผ่านมาแล้ว ขนาดของทอร์กหรือขนาดของโมเมนต์ M ของแรง\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  จะเท่ากับ     \displaystyle M=Fr\sin \theta = Fd
\displaystyle d = r\sin \theta จะเป็นระยะตั้งฉากจากจุดหมุนไปถึงแนวของแรง\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} ดังนั้น ทอร์กมีค่าเท่ากับ  ผลคูณระหว่ขนาดของแรงกับระยะทางจากแกนหมุนไปตั้งฉากกับแนวแรง โมเมนต์ของแรงจะมีหน่วยเป็น นิวตันเมตร
โมเมนต์ของแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งมีทั้งขนาดและทิศ  แต่จะง่ายกว่าและสะดวกกว่าที่จะคิดเฉพาะขนาดของโมเมนต์ประกอบกับทิศที่มีเฉพาะทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกาเมื่อปัญหาเกี่ยวกับแรงที่อยู่ในระนาบๆ หนึ่ง  เมื่อวัตถุอยู่ในสภาพสมดุลสถิต คือไม่หมุน  โมเมนต์รวมต้องเป็นศูนย์ หรืออาจถือเป็นหลักได้ว่า
โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา     =     โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา
น้ำหนัก \displaystyle W_1  , \displaystyle W_2  และ\displaystyle W_3   แขวนกับไม้เมตรและไม้เมตรอยู่ในสมดุลได้ คืออยู่นิ่งในแนวระดับได้ ดังรูป  8.11  (ไม่คิดน้ำหนักของไม้เมตร)


รูป 8.11  น้ำหนัก\displaystyle W_1  , \displaystyle W_2  และ\displaystyle W_3  แขวนกับไม้เมตรซึ่งอยู่ในระดับ
จะเกิดโมเมนต์ของแรงทั้งสามกระทำต่อไม้เมตร  จากโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเท่ากับโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาจะได้ \displaystyle W_1 d_1=W_2 d_2 + W_3 d_3 หรือผลรวมของโมเมนต์เป็นศูนย์ คือ  \displaystyle W_1 d_1 - W_2 d_2 - W_3 d_3 = 0

โมเมนต์ของแรงคู่ควบ
แรงสองแรงที่กระทำต่อวัตถุ มีขนาดเท่ากัน แนวแรงขนานกัน แต่มีทิศตรงกันข้ามเรียกแรงคู่นี้ว่า  แรงคู่ควบ (couple)  ดังแรง\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2ที่กระทำกับวัตถุในรูป  8.12


รูป 8.12  แรงคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2กระทำกับวัตถุ  AB  โดยแนวแรงทั้งสองตั้งฉากกับ  AB

พิจารณาจากรูป  8.12  จะได้ว่าโมเมนต์ของแรงคู่ควบ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2 รอบแกนหมุน  O เป็นโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา และเนื่องจากขนาดของแรงคู่ควบเท่ากัน  ดังนั้น  ถ้าให้  F  เป็นขนาดของแรงคู่ควบแต่ละแรง  จะหาผลของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2ได้เป็น
\displaystyle F_1 l_1 + F_2 l_2 = Fl_1 + Fl_2  = \displaystyle F(l_1 + l_2 )
ดังนั้น                \displaystyle Fl_1 + Fl_2 = Fl
เมื่อ l เป็นระยะทางตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง
โปรดสังเกตว่า ในการหาโมเมนต์รอบแกนหมุนอื่น เช่น A  หรือ B  ดังแสดงในรูป  8.12  ผลรวมของโมเมนต์จะมีค่าเท่าเดิม คือ เท่ากับ  Fl  และหมุนตามเข็มนาฬิกา  ถึงแม้ว่าจะพิจารณาหาผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุนใดๆ ก็ตามค่าที่ได้จะคงเดิม แหละหมุนตามเข็มนาฬิกาเช่นเดิม
สรุปได้ว่าโมเมนต์ของแรงคู่ควบใดๆ มีขนาดเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง ซึ่งจะหมุนตามเข็มนาฬิกา หรือหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขึ้นอยู่กับทิศของแรงคู่ควบนี่เองเป็นแรงทำให้วัตถุไม่สมดุลต่อการหมุน
เนื่องจากแรงลัพธ์ของแรงคู่ควบจะเป็นศูนย์ เพราะแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แรงคู่ควบจึงจะไม่มีผลในการเลื่อนตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่เป็นอิสระ แต่จะมีผลเฉพาะทำให้เกิดการหมุนอย่างเดียว


รูป 8.13  แรงกระทำในการไสกล่อง

การไสกล่องหรือวัตถุไปบนพื้นราบด้วยแรงในแนวระดับ ดังรูป  8.13  ซึ่งโดยปกติพื้นจะมีความฝืดหรือมีแรงเสียดทาน แผนภาพของแรงทั้งหมดที่กระทำกับวัตถุ สะดวกที่จะแสดงในภาพสองมิติ คือไม่แสดงทางส่วนของความหนา เมื่อแรงกระทำที่ส่วนกลางของวัตถุ สมมุติให้กล่องเป็นวัตถุที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ  น้ำหนักจะเป็นแรงกระทำที่ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงที่กลางวัตถุ ขณะที่แรงกระทำยังน้อยกว่าแรงเสียดทานที่เป็นไปได้ นั่นคือ  \displaystyle F < \mu N


รูป 8.14  แสดงแรงที่กระทำกับกล่อง

วัตถุจะไม่เคลื่อนที่ แผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุเป็นดังรูป 8.14  แรง f คือแรงเสียดทานที่เกิดขึ้น และแรง  N คือ แรงที่พื้นกระทำกับวัตถุในแนวตั้งฉากกับพื้น เมื่อวัตถุไม่เคลื่อนที่ แสดงว่าอยู่ในสภาพสมดุล แรง  f ต้องเท่ากับ  F  แต่มีทิศตรงกันข้าม  ซึ่งสองแรงนี้ประกอบเป็นแรงคู่ควบที่มีโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาขณะที่ แรง W  และ  N  ขนาดเท่ากันและมีทิศตรงกันข้าม ประกอบเป็นแรงคู่ควบที่มีโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา  โมเมนต์ของแรงคู่ควบทั้งสองจะต้องเท่ากัน วัตถุจึงไม่หมุนหรือล้มลง
หลักการของสมดุลยังทำให้ทราบว่า ตำแหน่งของ  N  ควรกระทำที่ใด เมื่อไม่มีแรง  F  กระทำ แนวของ  N  ควรอยู่ในแนวเดียวกับแนวของ W เมื่อ แรง  F  เพิ่มขึ้น  แรงคู่มีโมเมนต์มากขึ้น ตำแหน่งของ  N  จะเลื่อยห่างออกจากแนวของ  W  เพิ่มขึ้น จนถึงขอบของกล่องก่อนที่จะเริ่มเอียงหรือล้มได้
ตัวอย่าง  8.2     กล่องความหนาแน่นสม่ำเสมอดังรูป  8.13  สูง 1.00 เมตรกว้าง 0.05เมตร มีน้ำหนัก  2,000  นิวตัน วางอยู่บนพื้นระดับซึ่งมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่าผิวสัมผัสเป็น  0.4  แรง  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} ในแนวระดับที่ตำแหน่งสูง h จากพื้น
ก.    แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุในแนวระดับมีค่าเท่าใด วัตถุจึงจะเริ่มเคลื่อนที่พอดี
ข.    ระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่าใด วัตถุจึงจะไม่ล้มก่อนไถล
วิธีทำ
ก.    จากรูป  8.14
เนื่องจากวัตถุอยู่ในสมดุล  ดังนั้น W = N และ F = f
f  มีค่ามากที่สุดได้เท่ากับความเสียดทานสถิต  \displaystyle f_s = \mu _s N
= 0.4 x 2.0 x \displaystyle 10^3= 800 N
ดังนั้นแรงสูงสุดที่จะทำให้ไถลได้                              F = 800 N

คำตอบ   แรงที่กำให้วัตถุเริ่มจะเคลื่อนที่พอดีมีค่าเท่ากับ  800  นิวตัน
ก.    ถ้า  h  เป็นระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุไม่ล้มก่อนไถล
เนื่องจากวัตถุยังคงอยู่ในสมดุลก่อนไถลหรือล้ม  ดังนั้น
โมเมนต์ของแรงคู่ควบ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  =  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _s
W x d = F x h
\displaystyle 2000(N) \times \frac{{0.50}}{2}(m) = 800     (N) x h
h         = 0.625 m
คำตอบ     ระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  กระทำต่อวัตถุเท่ากับ 62.5 เซนติเมตร

หมายเหตุ    จากตัวอย่างทำให้เข้าใจได้ว่า หากแรงกระทำมากกว่า 800 N  เพียงเล็กน้อยและจุดที่แรงกระทำต่ำกว่า 6.25  เซนติเมตร วัตถุจะเริ่มไถลและเคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งแรงเสียดทานจะลดลงเนื่องจากควรจะคิดจากสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์  และแรง  800 N  กระทำก่อนที่วัตถุจะเริ่มไถล ถ้ากระทำสูงกว่า 6.25 เซนติเมตร จะทำให้วัตถุเริ่มเอียง (มุมขวาเริ่มยกขึ้น) แต่จะยังไม่ถึงกับล้ม แรงจะต้องกระทำต่อไปจนกว่าแนวของจุดศูนย์ถ่วงพ้นมุมฐานวัตถุจะล้มต่อไปเอง
โมเมนต์ของคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _sและ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} เป็นอย่างไร ขณะวัตถุเอียงก่อนล้ม

ตัวอย่าง  8.3  กระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำหนัก  400 นิวตัน มีหลักยึดกับกระดานสปริงที่  A  และ  B  ซึ่งห่างกัน  \displaystyle {\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}  ของความยาวของกระดานสปริง ดังรูป  8.15  จงหาขนาดของและทิศของแรงที่  A  และ  B  กระทำต่อกระดานสปริง ขณะที่นักกระโดดน้ำหนัก  600 นิวตันที่ปลายคาน  C  ยืนนิ่งอยู่


รูป 8.15  กระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำ
วิธีทำ
ให้ O เป็นจุดกึ่งกลางของกระดานสปริง
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _Aเป็นแรงที่เสา A ยึดกระดานสปริง
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _B เป็นแรงที่เสา B ยึดกระดานสปริง
l  เป็นความยาวของกระดานสปริง  AC
เนื่องจากกระดานสปริงอยู่ในสมดุลสถิต ดังนั้น   \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i } = 0 และ \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {M_i } = 0


รูป 8.16 แผนภาพแรงกระทำต่อกระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำ
ให้แรงที่มีทิศมีเครื่องหมาย  +  แรงที่มีทิศมีเครื่องหมาย  – (สมมติให้ทิศของแรงที่ A และ B เป็นดังรูป ถ้าสมมุติผิด เครื่องหมายจะได้ตรงข้ามกับที่สมมติ)
\displaystyle F_B - F_A - 400N - 600N = 0                    (1)
ให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย  +  โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย  – และให้แกนหมุนผ่านจุด B (อาจคิดผ่านจุด A  ก็ได้โดยจะหาค่า  \displaystyle F_B  ได้ก่อน)
\displaystyle F_A \times \frac{1}{4} - 400N \times \frac{1}{4} - 600N \times \frac{{31}}{4}     (2)
จาก  (2)               \displaystyle F_A    = 2,200 N
แทนค่า \displaystyle F_A   ใน  (1) \displaystyle F_B   = 3,200 N
คำตอบ แรงที่เสา  A  กระทำต่อกระดานสปริงเท่ากับ 2,200  นิวตันในทิศดิ่งลง
แรงที่เสา  B  กระทำต่อกระดานสปริงเท่ากับ  3,200  นิวตันในทิศดิ่งขึ้น

ตัวอย่าง  8.4  บันไดขนาดสม่ำเสมอวางพิงกำแพงเกลี้ยง  โดยปลายล่างทำมุม \displaystyle 60^\circ กับพื้นดังรูป  8.17  บันไดหนัก  300 นิวตัน
ก)     จงเขียนแผนภาพของแรงที่กระทำกับบันได
ข)    ถ้าคนมีมวล 60 กิโลกรัมยืนบนบันไดที่ระยะ \displaystyle \frac{1}{4} ของความยาวบันไดจากพื้น  แรงที่พื้นและกำแพง กระทำกับบันไดเป็นเท่าใด

รูป 8.17  แสดงบันไดวางพาดกำแพง

วิธีทำ
ก. แผนภาพของแรงจะเป็นดังรูป 8.18 มีแรงเนื่องจากน้ำหนักของบันได 300 N กระทำที่กลางบันได (สม่ำเสมอ) แรงเสียดทานที่พื้นกระทำต่อบันได \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _B และแรงที่กำแพงดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _Bกระทำที่ปลายล่างของบันได และแรงที่กำแพงดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _Aมีน้ำหนักของคนเพิ่มขึ้นที่ระยะ (1/4) ของความยาวบันไดจากพื้น ตามโจทย์ในข้อ ข)
ข.ให้คาน AB ยาว l  AO = BO \displaystyle \frac{1}{2} และ BM = \displaystyle \frac{1}{4}
คนมีมวล  60  kg  หนัก  600 N   ยืนที่   M
เนื่องจากคานอยู่นิ่ง  ดังนั้น  จาก
\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i } = 0
แนวระดับ  แรงมีทิศไปทางซ้ายเป็น-แรงมีทิศไปทางขวาเป็น +
\displaystyle N_A - f_B = 0
แนวดิ่ง  แรงมีทิศขึ้นเป็น + แรงมีทิศลง เป็น –
\displaystyle N_B  – 300  N – 600 N = 0
\displaystyle N_B =  900 N
และจาก \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {M_i } = 0
ให้ B เป็นจุดหมุน โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก โมเมนต์จากเข็มนาฬิกาเป็นลบ                                         \displaystyle 300N \times \frac{1}{2}\cos 60^\circ + 600N \times \frac{1}{4}\cos 60^\circ - N_A  \times l\sin 60^\circ = 0                                                           (2)
จะได้   \displaystyle N_A   = 174.4 N
แทนค่า \displaystyle N_A  ในสมการ (1)   \displaystyle f_B   = 174.4 N
คำตอบ     แรงเสียดทานที่พื้นกระทำบันได  174.4  นิวตัน
แรงที่พื้นกระทำกับบันไดในทิศตั้งฉาก    900  นิวตัน
แรงที่กำแพงกระทำกับบันไดในทิศตั้งฉาก  174.4  นิวตัน


รูป 8.18 แสดงแรงต่างๆ ที่กระทำกับกระบันได

โมเมนต์ของแรงคู่ควบ
แรงสองแรงที่กระทำต่อวัตถุ มีขนาดเท่ากัน แนวแรงขนานกัน แต่มีทิศตรงกันข้ามเรียกแรงคู่นี้ว่า  แรงคู่ควบ (couple)  ดังแรง\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2ที่กระทำกับวัตถุในรูป  8.12


รูป 8.12  แรงคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2กระทำกับวัตถุ  AB  โดยแนวแรงทั้งสองตั้งฉากกับ  AB

พิจารณาจากรูป  8.12  จะได้ว่าโมเมนต์ของแรงคู่ควบ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2 รอบแกนหมุน  O เป็นโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา และเนื่องจากขนาดของแรงคู่ควบเท่ากัน  ดังนั้น  ถ้าให้  F  เป็นขนาดของแรงคู่ควบแต่ละแรง  จะหาผลของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2ได้เป็น
\displaystyle F_1 l_1 + F_2 l_2 = Fl_1 + Fl_2  = \displaystyle F(l_1 + l_2 )
ดังนั้น                \displaystyle Fl_1 + Fl_2 = Fl
เมื่อ l เป็นระยะทางตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง
โปรดสังเกตว่า ในการหาโมเมนต์รอบแกนหมุนอื่น เช่น A  หรือ B  ดังแสดงในรูป  8.12  ผลรวมของโมเมนต์จะมีค่าเท่าเดิม คือ เท่ากับ  Fl  และหมุนตามเข็มนาฬิกา  ถึงแม้ว่าจะพิจารณาหาผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุนใดๆ ก็ตามค่าที่ได้จะคงเดิม แหละหมุนตามเข็มนาฬิกาเช่นเดิม
สรุปได้ว่าโมเมนต์ของแรงคู่ควบใดๆ มีขนาดเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง ซึ่งจะหมุนตามเข็มนาฬิกา หรือหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขึ้นอยู่กับทิศของแรงคู่ควบนี่เองเป็นแรงทำให้วัตถุไม่สมดุลต่อการหมุน
เนื่องจากแรงลัพธ์ของแรงคู่ควบจะเป็นศูนย์ เพราะแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แรงคู่ควบจึงจะไม่มีผลในการเลื่อนตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่เป็นอิสระ แต่จะมีผลเฉพาะทำให้เกิดการหมุนอย่างเดียว


รูป 8.13  แรงกระทำในการไสกล่อง

การไสกล่องหรือวัตถุไปบนพื้นราบด้วยแรงในแนวระดับ ดังรูป  8.13  ซึ่งโดยปกติพื้นจะมีความฝืดหรือมีแรงเสียดทาน แผนภาพของแรงทั้งหมดที่กระทำกับวัตถุ สะดวกที่จะแสดงในภาพสองมิติ คือไม่แสดงทางส่วนของความหนา เมื่อแรงกระทำที่ส่วนกลางของวัตถุ สมมุติให้กล่องเป็นวัตถุที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ  น้ำหนักจะเป็นแรงกระทำที่ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงที่กลางวัตถุ ขณะที่แรงกระทำยังน้อยกว่าแรงเสียดทานที่เป็นไปได้ นั่นคือ  \displaystyle F < \mu N


รูป 8.14  แสดงแรงที่กระทำกับกล่อง

วัตถุจะไม่เคลื่อนที่ แผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุเป็นดังรูป 8.14  แรง f คือแรงเสียดทานที่เกิดขึ้น และแรง  N คือ แรงที่พื้นกระทำกับวัตถุในแนวตั้งฉากกับพื้น เมื่อวัตถุไม่เคลื่อนที่ แสดงว่าอยู่ในสภาพสมดุล แรง  f ต้องเท่ากับ  F  แต่มีทิศตรงกันข้าม  ซึ่งสองแรงนี้ประกอบเป็นแรงคู่ควบที่มีโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาขณะที่ แรง W  และ  N  ขนาดเท่ากันและมีทิศตรงกันข้าม ประกอบเป็นแรงคู่ควบที่มีโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา  โมเมนต์ของแรงคู่ควบทั้งสองจะต้องเท่ากัน วัตถุจึงไม่หมุนหรือล้มลง
หลักการของสมดุลยังทำให้ทราบว่า ตำแหน่งของ  N  ควรกระทำที่ใด เมื่อไม่มีแรง  F  กระทำ แนวของ  N  ควรอยู่ในแนวเดียวกับแนวของ W เมื่อ แรง  F  เพิ่มขึ้น  แรงคู่มีโมเมนต์มากขึ้น ตำแหน่งของ  N  จะเลื่อยห่างออกจากแนวของ  W  เพิ่มขึ้น จนถึงขอบของกล่องก่อนที่จะเริ่มเอียงหรือล้มได้
ตัวอย่าง  8.2     กล่องความหนาแน่นสม่ำเสมอดังรูป  8.13  สูง 1.00 เมตรกว้าง 0.05เมตร มีน้ำหนัก  2,000  นิวตัน วางอยู่บนพื้นระดับซึ่งมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่าผิวสัมผัสเป็น  0.4  แรง  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} ในแนวระดับที่ตำแหน่งสูง h จากพื้น
ก.    แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุในแนวระดับมีค่าเท่าใด วัตถุจึงจะเริ่มเคลื่อนที่พอดี
ข.    ระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่าใด วัตถุจึงจะไม่ล้มก่อนไถล
วิธีทำ
ก.    จากรูป  8.14
เนื่องจากวัตถุอยู่ในสมดุล  ดังนั้น W = N และ F = f
f  มีค่ามากที่สุดได้เท่ากับความเสียดทานสถิต  \displaystyle f_s = \mu _s N
= 0.4 x 2.0 x \displaystyle 10^3= 800 N
ดังนั้นแรงสูงสุดที่จะทำให้ไถลได้                              F = 800 N

คำตอบ   แรงที่กำให้วัตถุเริ่มจะเคลื่อนที่พอดีมีค่าเท่ากับ  800  นิวตัน
ก.    ถ้า  h  เป็นระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} กระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุไม่ล้มก่อนไถล
เนื่องจากวัตถุยังคงอยู่ในสมดุลก่อนไถลหรือล้ม  ดังนั้น
โมเมนต์ของแรงคู่ควบ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  =  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _s
W x d = F x h
\displaystyle 2000(N) \times \frac{{0.50}}{2}(m) = 800     (N) x h
h         = 0.625 m
คำตอบ     ระยะสูงสุดที่แรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  กระทำต่อวัตถุเท่ากับ 62.5 เซนติเมตร

หมายเหตุ    จากตัวอย่างทำให้เข้าใจได้ว่า หากแรงกระทำมากกว่า 800 N  เพียงเล็กน้อยและจุดที่แรงกระทำต่ำกว่า 6.25  เซนติเมตร วัตถุจะเริ่มไถลและเคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งแรงเสียดทานจะลดลงเนื่องจากควรจะคิดจากสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์  และแรง  800 N  กระทำก่อนที่วัตถุจะเริ่มไถล ถ้ากระทำสูงกว่า 6.25 เซนติเมตร จะทำให้วัตถุเริ่มเอียง (มุมขวาเริ่มยกขึ้น) แต่จะยังไม่ถึงกับล้ม แรงจะต้องกระทำต่อไปจนกว่าแนวของจุดศูนย์ถ่วงพ้นมุมฐานวัตถุจะล้มต่อไปเอง
โมเมนต์ของคู่ควบ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _sและ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} เป็นอย่างไร ขณะวัตถุเอียงก่อนล้ม

ตัวอย่าง  8.3  กระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำหนัก  400 นิวตัน มีหลักยึดกับกระดานสปริงที่  A  และ  B  ซึ่งห่างกัน  \displaystyle {\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}  ของความยาวของกระดานสปริง ดังรูป  8.15  จงหาขนาดของและทิศของแรงที่  A  และ  B  กระทำต่อกระดานสปริง ขณะที่นักกระโดดน้ำหนัก  600 นิวตันที่ปลายคาน  C  ยืนนิ่งอยู่


รูป 8.15  กระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำ
วิธีทำ
ให้ O เป็นจุดกึ่งกลางของกระดานสปริง
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _Aเป็นแรงที่เสา A ยึดกระดานสปริง
\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _B เป็นแรงที่เสา B ยึดกระดานสปริง
l  เป็นความยาวของกระดานสปริง  AC
เนื่องจากกระดานสปริงอยู่ในสมดุลสถิต ดังนั้น   \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i } = 0 และ \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {M_i } = 0


รูป 8.16 แผนภาพแรงกระทำต่อกระดานสปริงสำหรับกระโดดน้ำ
ให้แรงที่มีทิศมีเครื่องหมาย  +  แรงที่มีทิศมีเครื่องหมาย  – (สมมติให้ทิศของแรงที่ A และ B เป็นดังรูป ถ้าสมมุติผิด เครื่องหมายจะได้ตรงข้ามกับที่สมมติ)
\displaystyle F_B - F_A - 400N - 600N = 0                    (1)
ให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย  +  โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย  – และให้แกนหมุนผ่านจุด B (อาจคิดผ่านจุด A  ก็ได้โดยจะหาค่า  \displaystyle F_B  ได้ก่อน)
\displaystyle F_A \times \frac{1}{4} - 400N \times \frac{1}{4} - 600N \times \frac{{31}}{4}     (2)
จาก  (2)               \displaystyle F_A    = 2,200 N
แทนค่า \displaystyle F_A   ใน  (1) \displaystyle F_B   = 3,200 N
คำตอบ แรงที่เสา  A  กระทำต่อกระดานสปริงเท่ากับ 2,200  นิวตันในทิศดิ่งลง
แรงที่เสา  B  กระทำต่อกระดานสปริงเท่ากับ  3,200  นิวตันในทิศดิ่งขึ้น

ตัวอย่าง  8.4  บันไดขนาดสม่ำเสมอวางพิงกำแพงเกลี้ยง  โดยปลายล่างทำมุม \displaystyle 60^\circ กับพื้นดังรูป  8.17  บันไดหนัก  300 นิวตัน
ก)     จงเขียนแผนภาพของแรงที่กระทำกับบันได
ข)    ถ้าคนมีมวล 60 กิโลกรัมยืนบนบันไดที่ระยะ \displaystyle \frac{1}{4} ของความยาวบันไดจากพื้น  แรงที่พื้นและกำแพง กระทำกับบันไดเป็นเท่าใด

รูป 8.17  แสดงบันไดวางพาดกำแพง

วิธีทำ
ก. แผนภาพของแรงจะเป็นดังรูป 8.18 มีแรงเนื่องจากน้ำหนักของบันได 300 N กระทำที่กลางบันได (สม่ำเสมอ) แรงเสียดทานที่พื้นกระทำต่อบันได \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} _B และแรงที่กำแพงดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _Bกระทำที่ปลายล่างของบันได และแรงที่กำแพงดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _Aมีน้ำหนักของคนเพิ่มขึ้นที่ระยะ (1/4) ของความยาวบันไดจากพื้น ตามโจทย์ในข้อ ข)
ข.ให้คาน AB ยาว l  AO = BO \displaystyle \frac{1}{2} และ BM = \displaystyle \frac{1}{4}
คนมีมวล  60  kg  หนัก  600 N   ยืนที่   M
เนื่องจากคานอยู่นิ่ง  ดังนั้น  จาก
\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i } = 0
แนวระดับ  แรงมีทิศไปทางซ้ายเป็น-แรงมีทิศไปทางขวาเป็น +
\displaystyle N_A - f_B = 0
แนวดิ่ง  แรงมีทิศขึ้นเป็น + แรงมีทิศลง เป็น –
\displaystyle N_B  – 300  N – 600 N = 0
\displaystyle N_B =  900 N
และจาก \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {M_i } = 0
ให้ B เป็นจุดหมุน โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก โมเมนต์จากเข็มนาฬิกาเป็นลบ                                         \displaystyle 300N \times \frac{1}{2}\cos 60^\circ + 600N \times \frac{1}{4}\cos 60^\circ - N_A  \times l\sin 60^\circ = 0                                                           (2)
จะได้   \displaystyle N_A   = 174.4 N
แทนค่า \displaystyle N_A  ในสมการ (1)   \displaystyle f_B   = 174.4 N
คำตอบ     แรงเสียดทานที่พื้นกระทำบันได  174.4  นิวตัน
แรงที่พื้นกระทำกับบันไดในทิศตั้งฉาก    900  นิวตัน
แรงที่กำแพงกระทำกับบันไดในทิศตั้งฉาก  174.4  นิวตัน


รูป 8.18 แสดงแรงต่างๆ ที่กระทำกับกระบันได

เสถียรภาพของสมดุล

วัตถุเดียวกันขณะอยู่ในสมดุลสถิตอาจวางตัวในลักษณะต่างกัน เช่น ขวด ในรูป 8.19  ก. ข. และ ค.

รูปที่  8.19  ขวดวางตัวในลักษณะต่างกัน

ในแต่ละกรณี ขวดจะรักษาสมดุลให้ต่างกัน จากรูป 8.19  ก. เมื่อผลักขวดให้เอียงไปจากเดิมเล็กน้อยแล้วปล่อยมือ ขวดจะเคลื่อนที่กลับมาอยู่ในลักษณะเดิม รูป    ก.         จัดว่าอยู่ใน สภาพสมดุลเสถียร  (stable equilibrium)  ถ้าขวดอยู่ในลักษณะดังรูป 8.19  ข.  เมื่อผลักขวดอย่างไรก็ตาม ขวดจะเคลื่อนตัวไม่กลับที่เดิมแต่อยู่นิ่งในลักษณะเดิมได้ รูป  ข.  จัดว่าอยู่ใน สภาพสมดุลสะเทิน (neutral equilibrium) เมื่อวางขวด ดังรูป 8.19    ค. เมื่อผลักขวดเป็น สภาพสมดุลไม่เสถียร (unstable equilibrium)

สภาพสมดุลเสถียร
จากรูป 8.19 ก.  เดิมขวดอยู่ในสมดุลเสถียร เมื่อมีแรงกระทำต่อขวดให้เอียงไปเล็กน้อย ศูนย์กลางมวล (C.M)  ของขวด จะเปลี่ยนตำแหน่งอยู่ในระดับสูงขึ้น ซึ่งหมายถึงพลังงานศักย์ที่สูงขึ้นเมื่อจะเอียงไปทางใดทางหนึ่ง น้ำหนัก  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกับแรงที่พื้นดัน วัตถุในทิศตั้งฉาก  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} ทำให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ที่จะทำให้ขวดกลับมาตั้งอยู่ในลักษณะเดิม
สภาพสมดุลสะเทิน
จากรูป     8 .19  ข. เมื่อออกแรงผลักขวด ไม่ว่าจะผลักอย่างไร ขวดจะกลิ้งโดยศูนย์กลางมวลของขวดอยู่สูงจากพื้นเท่าเดิม (ขวดที่สมมาตร) พลังงานศักย์ของจุดศูนย์กลางมวลเท่าเดิมและแนวน้ำหนัก  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  ยังคงอยู่ในแนวแรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} จึงไม่เกิดโมเมนต์ของแรงคืนให้กลับที่เดิม ทำให้ ขวดอยู่ ณ ตำแหน่งใหม่ทุกครั้ง
สภาพสมดุลไม่เสถียร
จากรูป  8.19  ค.  เมื่อขวดถูกผลักเอียงไปเล็กน้อย  เมื่อจุดศูนย์กลางมวลของขวดพ้นแนวปากขวดที่เป็นฐาน  ขวดจะล้มต่อไปด้วยโมเมนต์ของน้ำหนักที่ทำให้ขวดหมุน  ขวดจะไม่วางตัวกลับไปดังเดิม พลังงานศักย์   ของจุดศูนย์กลางมวลต่ำลงหลังจากเอียงเกินขอบของปากขวดซึ่งแคบ
กราฟของพลังงานศักย์ของจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีทั้งสามอาจเขียนเทียบกับมุมที่เอียง \displaystyle \theta โดยประมาณแสดงได้ดังรูป 8.20

รูป  8.20  กราฟของพลังงานศักย์รอบๆ สมดุล

การนำหลักสมดุลไปประยุกต์
หลักการสมดุลมีใช้มากมายในชีวิตประจำวัน  ในที่นี้จะกล่าวถึงการนำหลักการสมดุลไปใช้กับเครื่องกลอย่างง่าย เช่น  คาน  คีมตัดลวด  ไขควง  ล้อและเพลา  และกว้าน  เป็นต้น  เครื่องกลอย่างง่ายเหล่านี้สามารถผ่านแรงที่กระทำได้อย่างไร  สามารถเข้าใจได้จากการหาขนาดของแรงที่กระทำ ณ จุดต่างๆ ตามหลักการของสมดุลในทุกกรณี

ตัวอย่าง  8.5  ในการดึงน้ำขึ้นจากบ่อลึกด้วยล้อและเพลาดังรูป ล้อมีเส้นผ่าศูนย์กลาง  36  เซนติเมตร  และเพลามีเส้นผ่าศูนย์กลาง 15 เซนติเมตร หากถังน้ำที่ต้องการดึงขึ้นมีมวล  20  กิโลกรัม แรงอย่างน้อยที่ต้องดึงเชือกพันล้อต้องเป็นเท่าใด (ประมาณว่ามีความฝืดน้อย)

วิธีทำ คิดโมเมนต์ที่แหนหมุน  ขณะที่ดึงขึ้นด้วยความเร็วสม่ำเสมอ จะใช้แรงเท่ากับสมดุล คือ
F x (36/2) = 20 x10 x (15/2)    (N cm)
F  =  83.3  N
คำตอบ  ใช้แรงอย่างน้อย  83.3  นิวตัน เมื่อประมาณว่ามีความฝืดน้อยและไม่คิดมวลของเชือก

สภาพยืดหยุ่น

เราได้ศึกษาสมดุลของวัตถุและแรงที่เกี่ยวข้อง โดยไม่คำนึงถึงส่วนที่แรงเหล่านั้นมีผลต่อรูปร่างของวัตถุ  ถ้าแรงที่กระทำต่อวัตถุมีค่ามากพอก็จะทำให้วัตถุเกิด การผิดรูป (deformation)  หรือ  การแตกหักได้  ในหัวข้อนี้ จะศึกษาผลของแรงที่ทำให้วัตถุเปลี่ยนรูปร่างซึ่งอาจคืนสภาพเดิมหรืออาจไม่คืนสภาพเดิมหลังหยุดออกแรงกระทำและการนำความรู้ที่เกี่ยวข้องไปใช้ประโยชน์

เมื่อนำวัตถุบางชนิด เช่น เหล็ก ทองแดง  หรือแก้วที่เป็นแท่งหรือเส้นลวด มายึดปลายข้างหนึ่ง จากนั้นออกแรงดึงปลายอีกข้างหนึ่ง จะพบว่า ความยาวของเส้นลวดวัตถุยืดออกและส่วนที่ยืดออกแปรผันตรงกับขนาดของแรงดึงเมื่อแรงยังอยู่ในขอบเขตหนึ่ง   ความจริงข้อนี้เรียกว่า กฎของฮุก (Hooke’s Law)  เมื่อเพิ่มแรงดึงต่อไปเรื่อย ๆ  จะพบว่าความยาวของเส้นวัตถุที่ยืดออกจะไม่แปรผันตรงกับขนาดของแรงดึงอีกต่อไป ดังกราฟในรูป 8.21

รูป 8.21 กราฟระหว่างแรงดึงกับความยาวของเส้นโลหะที่เพิ่มขึ้น

จากกราฟ  จะเห็นว่า  ในช่วง  oa  เป็นไม่ตามกฎของฮุก  จุด  a  ซึ่งเป็นตำแหน่งสุดท้ายที่ความยาวเส้นโลหะยืดออกแปรผันตรงกับขนาดของแรงดึง  จุดนี้ เรียกว่า  ขีดจำกัดการแปรผันตรง (proportional limit)  ถ้าออกแรงดึงเส้นโลหะให้ยืดอีกเล็กน้อยจนถึงจุด   b  เมื่อหยุดออกแรงดึงเส้นโลหะจะกลับไปอยู่สภาพเดิมและความยาวสุดท้ายเท่ากับความยาวเริ่มต้น จุดนี้เรียกว่า  ขีดจำกัดสภาพยืดหยุ่น (elastic limit)

ส่วนช่วงของกราฟตั้งแต่จุด b เป็นต้นไปเส้นโลหะเริ่มเปลี่ยนรูปไปอย่างถาวร  และถ้าออกแรงดึงถึงจุด c จุดนี้เรียกว่า จุดคราก (yield point) ซึ่งเป็นจุดที่ความยาวของเส้นโลหะเพิ่มอย่างรวดเร็ว ขณะที่แรงดึงเพิ่มเล็กน้อย เมื่อออกแรงดึงต่อไป จนเลยจุด d  เส้นโลหะจะขาดจุดนี้เรียกว่า จุดแตกหัก (breaking point)

ช่วง ob เรียกว่า  การผิดรูปแบบยืดหยุ่น (elastic deformation)  และสภาพของวัตถุในช่วง  เรียกว่า  สภาพยืดหยุ่น (elasticity)  ซึ่งเป็นสมบัติของวัตถุที่มีการเปลี่ยนรูปร่างเมื่อมีแรงมากระทำ และสามารถกลับสู่รูปเดิมเมื่อหยุดออกแรงกระทำ

ช่วง ob เรียกว่า  การผิดรูปแบบพลาสติก(plastic deformation)  ซึ่งเป็นสมบัติของวัตถุที่เปลี่ยนรูปร่างไปอย่างถาวร โดยวัตถุยังไม่ฉีกขาดหรือแตกหัก

วัตถุส่วนใหญ่มีทั้งสภาพยืดหยุ่นและสภาพพลาสติกในตัวเอง  โดยมีสภาพยืดหยุ่นเมื่อแรงกระทำมีค่าน้อย  และมีสภาพพลาสติกเมื่อแรงกระทำมีค่ามาก วัตถุบางชนิดมีแต่สภาพพลาสติก เช่น ดินน้ำมัน  ขนมปัง  เป็นต้น

8.7.1  แรงที่ทำให้วัตถุผิดรูป

วัตถุส่วนมากจะมีรูปร่างผิดไปเล็กน้อยเมื่อมีแรงกระทำ  โดยแรงที่มากระทำนั้นอาจกระทำในทิศต่างๆ และวัตถุเหล่านั้นส่วนใหญ่จะประพฤติตามกฎของฮุกเมื่อแรงยังน้อยกว่าขีดจำกัดสภาพยืดหยุ่น  เช่น  แท่งโลหะ แก้ว ควอรตซ์ หรือพลาสติก มีวัตถุบางอย่างที่ไม่เป็นไปตามกฎของฮุกได้เลย เช่น ดินเหนียว ดินน้ำมัน เพราะรูปร่างเปลี่ยนไปอย่างถาวรเมื่อได้รับแรงเพียงเล็กน้อย โดยทั่วไป แรงที่กระทำต่อวัตถุแล้วมีผลให้วัตถุผิดรูปไป มี 3 แบบ ได้แก่

1.     แรงดึง  (tensile forces)  เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุ มีผลให้วัตถุมีความเพิ่มขึ้น

2.    แรงอัด  (forces of compression)  เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุ มีผลให้วัตถุมีความยาวลดลง

3.    แรงเฉือน (shear forces)  เป็นแรงที่กระทำบนผิววัตถุ  มีผลให้ผิววัตถุบิดไป  เรียกว่า แรงบิด   (forces of torsion)  ซึ่งเป็นแรงเฉือนชนิดหนึ่ง


รูป 8.22  แรงที่กระทำต่อวัตถุและผลของแรงทำให้วัตถุผิดรูป

8.7.2  ความเค้นและความเครียด

เมื่อออกแรงดึงเส้นลวดโลหะโดยนำวัตถุมาแขวน ดังรูป  8.23  ถ้าพิจารณาส่วนของเส้นลวดขณะอยู่ในสมดุล แรงดึงทั้งสองปลายของเส้นลวดจะมีขนาดเท่ากัน  และทุกๆ ส่วนของภาคตัดขวางของเส้นลวดจะได้รับแรงกระทำอย่างสม่ำเสมอด้วยเช่นกัน

รูป 8.23  แรงที่กระทำต่อเส้นลวดอัตราส่วนระหว่างแรงดึงและพื้นที่ภาคตัดขวาง

ให้  F  เป็นแรงดึงซึ่งกระทำในแนวตั้งฉากกับพื้นที่หน้าตัด  A  ของเส้นลวด เรียกว่า  ความเค้นดึง (tensile stress)  แทนด้วนสัญลัษณ์  \displaystyle \sigma (อ่านว่า  ซิกมา   sigma)  และเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า

หรือ                                   \displaystyle \sigma = \frac{F}{A}                                                (8.6)

ความเค้นเป็นปริมาณเกลาร์มีหน่วยในระบบเอสไอเป็น นิวตันต่อตารางเมตร\displaystyle (N/M^2)

ขณะที่ออกแรงดึงเส้นลวดจะยืดออก  ถ้าให้  \displaystyle L_0  เป็นความยาวเดิมของเส้นลวดและ\displaystyle \Delta L เป็นความยาวที่เพิ่มขึ้น อัตราส่วนระหว่างความยาวที่เพิ่มขึ้นกับความยาวเดิม เรียกว่า<b>ความเครียดดึง  (tensile strain)</b>  แทนด้วยสัญลักษณ์ \displaystyle \varepsilon  (อ่านว่า  เอพซิลอน  epsilon)  และเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า
หรือ  \displaystyle \varepsilon = \frac{{\Delta L}}{{L_0 }}           (8.7)

เนื่องจากความเครียดเป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปกับความยาวเดิม ซึ่งมีหน่วยเดียวกัน ความเครียดจึงไม่มีหน่วย

ในกรณีที่แรงกระทำต่อวัตถุเป็นแรงอัด  ความเค้นและความเครียดที่เกิดขึ้น เรียกว่า ความเค้นอัด (compressivestress)  และ ความเครียดอัด (compressivestrain)   ตามลำดับเนื่องจากแรงดึงและแรงอัดทำให้ความยาวของวัตถุเปลี่ยนไป จึงเรียกความเค้นดึงและความเค้นอัดว่า  ความเค้นตามยาว (longitudinal stree)   และเรียกความเครียดดึงและความเครียดอัดว่า ความเครียดตามยาว  (longitrdinal strain)

ตัวอย่าง 8.6   ลวดโลหะเส้นหนึ่งยาว  120  เมตร เส้นผ่านศูนย์กลาง  2.2 มิลลิเมตร  ออกแรงดึงขนาด  380  นิวตัน  ทำให้ลวดโลหะมีความยาวเป็น  120.10  เมตร  จงหาความเค้นดึงและความเครียดดึงในลวดโลหะ

วิธีทำ   พื้นที่หน้าตัดของลวดโลหะ   \displaystyle A = \frac{{\pi d^2 }}{4} = 3.14 \times \frac{{(2.2 \times 10^{ - 3} m)^2 }}{4} = 3.8 \times 10^{ - 6} m^2

ความเค้นดึง               \displaystyle \sigma = \frac{F}{A} = \frac{{380N}}{{3.8 \times 10^{ - 6} m^2 }} = 1.0 \times 10^8 N/m^2
ความเครียดดึง         \displaystyle \varepsilon = \frac{{\Delta L}}{{L_0 }} = \frac{{120.10m - 120m}}{{120m}} = 8.3 \times 10^{ - 4}

คำตอบ   ความเค้นดึงและความเครียดดึงในลวดโลหะเท่ากับ  1.0  x \displaystyle 10^8   นิวตันต่อตารางเมตร และ  8.3  x \displaystyle 10^{ - 4}   ตามลำดับ

8.7.3  มอดูลัสของยัง

เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุเช่น ลวดโลหะชนิดหนึ่งๆ  จะทำให้เกิดความเค้นและความเครียดในลวดนั้น ความเค้นและความเครียดที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไรหรือไม่

คำถามนี้สามารถหาคำตอบได้จากการทดลอง  ซึ่งสามารถทดลองได้ด้วยตนเอง ดังการทดลองที่  8.2   ดังรายละเอียดตอนท้ายของบทนี้

จากการทดลอง สามารถสรุปได้ว่า ความเครียดที่เกิดขึ้นแปรผันโดยตรงกับความเค้นทั้งนี้เมื่อขนาดของแรงดึงไม่เกินขีดจำกัดของการยืดหยุ่น  ซึ่งหมายถึงกราฟระหว่างความและความเครียดเป็นกราฟเส้นผ่านจุดกำเนิด (0.0)  และสามารถเขียนความสัมพันธ์เป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ว่า \displaystyle \sigma = E\varepsilon ในที่นี้ E  เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน  ซึ่งจะเป็นค่าคงตัวประจำสำหรับวัตถุหนึ่งๆ มีชื่อว่า ค่ามอดูลัสของยัง (young’s modulus)  ดังนั้น

หรือ  \displaystyle E = \frac{\sigma }{\varepsilon } = \frac{{F/A}}{{\Delta L/L_0 }}              (8.8)

มอดูลัสของยังมีหน่วย นิวตันต่อตารางเมตร \displaystyle (N/m^2 )  วัตถุที่มีมอดูลัสของยังสูงแสดงว่าวัตถุนั้นทนต่อการเปลี่ยนแปลงความยาว  หรือเปลี่ยนความยาวได้น้อยขณะที่มีความเค้นมาก การดึงทำให้วัสดุยืด ในขณะที่การอัดทำให้ความยาวหด การยืดและหดเป็นเป็นตามค่ามอดูลัสของยังค่าเดียวกัน

Thomas  Young (ค.ศ. 1773-1829)  นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ  สำเร็จการศึกษาทางแพทย์  แต่สนใจในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะเรื่องแสง  ได้ดำรงตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ทางฟิสิกส์มากมาย เช่น  ค้นพบการแทรกสอดของแสง เป็นคนแรกที่พบว่า  ภายในขีดจำกัดสภาพยืดหยุ่นอัตราส่วนระหว่างความเค้นและความเครียดของวัตถุชนิดหนึ่งๆ จะมีค่าคงตัวเสมอ

รูป 8.24 โธมัส ยัง

ตัวอย่าง 8.7 ลวดเหล็กกล้าเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร มีพื้นที่หน้าตัด 0.8 ตารางเซนติเมตรผูกวัตถุมวล 7,000 กิโลกรัม แขวนห้อยไว้ในแนวดิ่ง พบว่าลวดเหล็กนี้ยืดออก 1.75 x \displaystyle 10^{-2} เมตรลวดเหล็กกล้าเส้นนี้มีมอดูลัสของยังเท่าใด (กำหนดให้ g = 9.8 m/s\displaystyle ^2)

วิธีทำ  จากสมการ  \displaystyle E = \frac{{F/A}}{{\Delta L/L_0 }}

แทนค่า จะได้  \displaystyle E = \frac{{(7000 \times 10N)(4m)}}{{(0.8 \times 10^{ - 4} m^2 )(1.75 \times 10^{ - 2} m)}}

= 2.0 x \displaystyle 10^11 N/m\displaystyle ^2

คำตอบ ลวดเหล็กกล้ามีมอดูลัสของยังเท่ากับ 2.0  x \displaystyle 10^11 นิวตันต่อตารางเมตร

ตัวอย่าง 8.8 ลิฟต์มวล 600 กิโลกรัม บรรทุกผู้โดยสาร 10 คน ซึ่งมีมวลเฉลี่ยคนละ 80 กิโลกรัม ถ้าลิฟต์มีความเร่งสูงสุด 2.0 เมตรต่อวินาที\displaystyle ^2 จงหาความเครียดดึง ในสายเคเบิลทำด้วยเหล็กกล้าที่แขวนลิฟต์ ซึ่งมีพื้นที่หน้าตัด 4.0 ตารางเซนติเมตร ในขณะที่ลิฟต์กำลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่งสูงสุด (กำหนดให้ g = 9.8 m/s\displaystyle ^2 และ E =2.0 x \displaystyle 10^11 N/m\displaystyle ^2 )

วิธีทำ แนวคิด ความเครียดดึงหาได้จาก   แต่ข้อมูลที่โจทย์กำหนด ไม่สามารถหาความเครียดดึงจากอัตราส่วนนี้ได้ จึงต้องหาจาหความสัมพันธ์

ขณะลิฟต์เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง สมการการเคลื่อนที่ของลิฟต์ เขียนได้ดังนี้

T – mg = ma

เมื่อ T เป็นความดึงของสายเคเบิล

แทนค่าจะได้ T – (1400 kg x 9.8 m/s\displaystyle ^2 ) = (600 +800)kg x 2.0 m/s\displaystyle ^2

T = 2800 kg m/s\displaystyle ^2 + 13720 N = 16520 N

จากสมการ \displaystyle E = \frac{\sigma }{\varepsilon }

ในที่นี้ \displaystyle \sigma = \frac{T}{A} = \frac{{16520N}}{{4.0 \times 10^{ - 4} m^{ - 2} }} = 4130 \times 10^4 N/m^2

E = มอดูลัสของยังของสายเคเบิลเหล็กกล้า = 2.0 x \displaystyle 10^11 N/m\displaystyle ^2

\displaystyle \varepsilon = ความเครียดดึงในสายเคเบิล

แทนค่าจะได้ \displaystyle \varepsilon = \frac{\sigma }{E} = \frac{{4130 \times 10^4 N/m^2 }}{{2.0 \times 10^{11} N/m^2 }} = 2.06 \times 10^{ - 4}

คำตอบ ความเครียดดึงในสายเคเบิลเท่ากับ 2.06 x \displaystyle 10^{-4}

นอกจากมอดูลัสของยังแล้ว ยังมีมอดูลัสประเภทอื่นอีก ได้แก่ <b>มอดูลัสเฉือน</b> (shear modulus) วัตถุที่มีมอดูลัสเฉือนสูง แสดงว่าวัตถุนั้นทนต่อการทำให้ผิวหนึ่งเลื่อนไปบนอีกผิวหนึ่ง และ มอดูลัสเชิงปริมาตร (bulk modulus) วัตถุที่มีมอดูลัสเชิงปริมาตรสูงแสดงว่าวัตถุนั้นทนต่อการเปลี่ยนแปลงปริมาตร

มอดูลัสของยัง มอดูลัสเฉือนและมอดูลัสเชิงปริมาตร เรียกรวมกันว่า มอดูลัสสภาพยืดหยุ่น (elastic modulus) ซึ่งเขียนเป็นความสัมพันธ์ในรูปทั่วไปได้ว่า

มอดูลัสสภาพยืดหยุ่นของวัตถุบางชนิด แสดงในตาราง 8.1

ตาราง 8.1 มอดูลัสสภาพยืดหยุ่นของวัตถุบางชนิด

วัตถุ มอดูลัสของยัง

\displaystyle 10^10 N/m^2

 มอดูลัสเฉือน

(x \displaystyle 10^10 N/m^2)

 มอดูลัสเชิงปริมาตร

(x \displaystyle 10^10 N/m^2)
เหล็กกล้า

ทองแดง

เหล็กหล่อ

ทองเหลือง

อะลูมิเนียม

แก้ว

ควอรตซ์

กระดูกแขนขา

น้ำ

 20

11

10

9.1

7.0

6.5-7.8

5.6

1.5

–

 8.4

4.2

4.0

3.5

2.5

2.6-3.2

2.6

8.0

–

 16

14

9.0

6.1

7.0

5.0-5.5

2.7

–

0.2

มอดูลัสสภาพยืดหยุ่นเป็นสมบัติเฉพาะตัวของวัตถุ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติสภาพยืดหยุ่นของวัตถุจึงมีประโยชน์ในด้านวิศวกรรมเป็นอย่างมาก เช่น ในการเลือกวัตถุเพื่อใช้เป็นโครงสร้างอาคาร สะพานหรือชิ้นส่วนของเครื่องจักกล วิศวกรผู้ออกแบบจะต้องเลือกวัตถุที่มีสมบัติสภาพยืดหยุ่นเหมาะสมกับงาน

วัตถุที่มอดูลัสสภาพยืดหยุ่นต่างกัน สามารถทนต่อแรงภายนอกต่างกัน วัตถุที่มอดูลัสสภาพยืดหยุ่นสูง จะสามารถทนต่อ้แรงภายนอกได้มากหรือทำให้ผิดรูปได้ยาก ส่วนความเค้นที่ขีดจำกัดสภาพยืดหยุ่นจะบอกให้ทราบว่าวัตถุนั้นสามารถทนต่อแรงภายนอกมากที่สุดเพียงใด เพื่อสามารถกับสู่สภาพเดิมได้ ดังนั้นในการออกแบบชิ้นส่วนของเครื่องยนต์จำเป็นต้องเลือกใช้วัตถุที่สามารถทนแรงที่มากระทำได้มาก ซึ่งหมายถึง วัตถุนั้นจะต้องมีมอดูลัสสภาพยืดหยุ่นและความเค้นที่ขีดจำกัดสภาพยืดหยุ่นสูงด้วย วัตถุที่ว่านั้นได้แก่ เหล็กกล้าและโลหะผสม

ความทนแรงของวัตถุ
ความทนแรง (strength)ของวัตถุ เป็นสมบัติที่บอกให้ทราบความสามารถในการต้านทานความเค้นของวัตถุนั้นๆ หาได้จากแรงสูงสุดต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ก่อนที่วัตถุจะเกิดแตกหักในกรณีที่เป็นความแค้นดึงสูงสุด จะเรียกว่า ความทนแรงดึง (tensile strength) ทำนองเดียวกันสำหรับความเค้นอัดสูงสุด ความเค้นเฉือนสูงสุด จะเรียกว่า ความทนแรงอัด (compressive strenth) และความทนแรงเฉือน (shear strength) ตามลำดับ ความทนแรงของวัตถุบางชนิดแสดงในตาราง  2

ตาราง 8.2 ความทนแรงของวัตถุบางชนิด

วัตถุ ความทนแรงดึง
(x \displaystyle 10^8 N/m^2)		 ความทนแรงอัด
(x \displaystyle 10^8 N/m^2)		 ความทนแรงเฉือน
(x \displaystyle 10^8 N/m^2)
เหล็กกล้า

เหล็กหล่อ

ทองเหลือง

อะลูมิเนียม

คอนกรีต

ไม้(ตามลายไม้)

กระดูก

 5.0

1.7

2.5

2.0

0.02

0.4

1.3

 5.0

5.5

2.5

2.0

0.2

0.35

1.7

 2.5

1.7

2.0

2.0

0.02

0.05

–

การดึงเป็นเส้น (ductile) เป็นสมบัติของวัตถุที่ถูกทำให้มีความยาวเพิ่มขึ้นได้ง่าย หรือให้ขึ้นรูปได้ง่ายโดยได้รับความเค้นเล็กน้อย วัตถุที่มีสมบัตินี้จะมีช่วงผิดรูปแบบพลาสติกยาว เช่น ตะกั่ว ทองแดง
ความเปราะ (brittle) เป็นสมบัติของวัตถุซึ่งเมื่อได้รับความเค้นเกิดความเค้น ที่ขีดจำกัดยืดหยุ่น จะแตกได้ง่าย วัตถุที่มีสมบัติจะมีช่วงการผิดรูปแบบพลาสติกสั้น เช่น เซรามิก แก้ว วัตถุที่เปราะไม่ได้หมายความว่า ไม่มีความทนทานหรือมีความอ่อนแอ แก้วเป็นวัตถุที่เปราะแต่ความทนแรงดึงสูงสุดมีค่าสูงใกล้เคียงอะลูมิเนียม ส่วนเซรามิกก็เป็นวัตถุที่เปราะ แต่มีความทนแรงดึงสูงสูงกว่าโลหะหลายชนิด

แบบทดสอบ

1.วัตถุอันหนึ่งมวล 3.2 กิโลกรัม แขวนห้อยอยู่ด้วยเชือก 2 เส้น เส้นหนึ่งอยู่ในแนวราบ อีกเส้นหนึ่งทำมุม 60 ํ กับแนวดิ่ง จงหาแรงดึงของเชือกทั้งสอง

2.เชือกเบาเส้นหนึ่งยาว 8 นิ้ว มีปลายข้างหนึ่งผูกกับจุดๆ หนึ่งบนผิวทรงกลมลูกหนึ่งและปลายข้างหนึ่งผูกไว้กับจุดบนกำแพง ซึ่งปราศจากความเสียดทาน ถ้าทรงกลมรัศมี 21 นิ้วและหนัก 5 กิโลกรัม จงหาแรงตึงในเชือก

เฉลย

1.ตอบ 55.424 Nอ

2.ตอบ 72.5 N

วิดีโอประกอบการเรียน